Như đã nói, với topo thông thường, compact hóa Alexandroff của ( 0 , 1 ] {\displaystyle (0,1]} là [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} . Tuy nhiên, với một hàm f {\displaystyle f} cho bởi f ( x ) = sin ⁡ 1 x {\displaystyle f(x)=\sin {\frac {1}{x}}} (Topologist's sine curve) là một hàm bị chặn và liên tục trên ( 0 , 1 ] {\displaystyle (0,1]} nhưng hoàn toàn không thể được mở rộng liên tục vào [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} . Như vậy, với trường hợp này, compact hóa Alexandroff chưa bảo đảm tính liên tục của một hàm trên không gian compact hóa.Khi đó, phương pháp compact hóa Stone-Čech sau đây sẽ giải quyết được vấn đề nêu trên.Compact hóa Stone-Čech lần đầu xuất hiện trong một bài báo của Tychonoff (năm 1930) và sau đó được nói đến rõ ràng bởi Marshall Stone (năm 1937) và Eduard Čech (năm 1937).

Định nghĩa

Cho X {\displaystyle X} là một không gian topo, ký hiệu C ( X ) {\displaystyle C(X)} là tập các hàm liên tục bị chặn từ X {\displaystyle X} vào R {\displaystyle \mathbb {R} } . Xét hàm sau

Φ : X → ∏ f ∈ C ( X ) [ inf f , sup f ] x ↦ ( f ( x ) ) f ∈ C ( X ) {\displaystyle {\begin{matrix}\Phi :X&\to &\displaystyle {\prod _{f\in C(X)}[\inf f,\sup f]}\\x&\mapsto &\left(f\left(x\right)\right)_{f\in C\left(X\right)}\end{matrix}}}

Nếu X {\displaystyle X} là chính tắc đầy đủ thì Φ : X → Φ ( X ) {\displaystyle \Phi :X\to \Phi (X)} là một đồng phôi, nghĩa là Φ {\displaystyle \Phi } là một phép nhúng. Trong trường hợp này, vì ∏ f ∈ C ( X ) [ inf f , sup f ] {\displaystyle \displaystyle {\prod _{f\in C(X)}[\inf f,\sup f]}} compact nên không gian con Φ ( X ) ¯ {\displaystyle {\overline {\Phi (X)}}} là compact. Khi đó, Φ ( X ) ¯ {\displaystyle {\overline {\Phi (X)}}} được gọi là compact hóa Stone - Cech của X {\displaystyle X} . Hơn nữa, nó là một không gian Hausdorff.

Tính chất liên quan[4]

• Cho Y {\displaystyle Y} là một không gian compact Hausdorff thì với mỗi hàm f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} liên tục, thì tồn tại duy nhất một hàm mở rộng liên tục g {\displaystyle g} của f {\displaystyle f} mà g : Φ ( X ) ¯ → Y {\displaystyle g:{\overline {\Phi (X)}}\to Y} .
• Φ ( X ) ¯ {\displaystyle {\overline {\Phi (X)}}} liên thông khi và chỉ khi X {\displaystyle X} là liên thông.
• X {\displaystyle X} mở trong Φ ( X ) ¯ {\displaystyle {\overline {\Phi (X)}}} khi và chỉ khi X {\displaystyle X} là một không gian compact địa phương.